الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضيات،حيثتمثلامتدادًاللأعدادالحقيقيةوتستخدمفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فيهذاالدرس،سنتعرفعلىتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةإجراءالعملياتالحسابيةعليها.شرحدرسالأعدادالمركبة

1.تعريفالعددالمركب

العددالمركبهوعدديمكنكتابتهعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aوbأعدادحقيقية.
-iهيالوحدةالتخيلية،وتحققالمعادلة(i^2=-1).
-يُسمىaالجزءالحقيقيللعددالمركب(Re(z)).
-يُسمىbالجزءالتخيليللعددالمركب(Im(z)).

2.تمثيلالأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالأعدادالمركبةبعدةطرق،منها:
-الصورةالجبرية:(z=a+bi)
-الصورةالقطبية:(z=r(\cos\theta+i\sin\theta))
حيثrهوالمقياس(الطول)وθهوالزاوية(الطور).

3.العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

أ)الجمعوالطرح

لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i]

ب)الضرب

يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيعومراعاةأن(i^2=-1):
[(a+bi)\cdot(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]

ج)القسمة

للقسمة،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةiمنالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]

4.خصائصالأعدادالمركبة

• المرافقالمركب:إذاكان(z=a+bi)،فإنمرافقههو(\overline{ z}=a-bi).
• المقياس:(|z|=\sqrt{ a^2+b^2}).
• الزاوية(الطور):(\theta=\tan^{ -1}\left(\frac{ b}{ a}\right)).

5.تطبيقاتالأعدادالمركبة

تستخدمالأعدادالمركبةفي:
-تحليلالدوائرالكهربائية.
-معالجةالإشارات.
-الفيزياءالكمية.
-الرسوماتالحاسوبية.

6.أمثلةتطبيقية

مثال1:احسبناتج((3+2i)+(1-4i)).
الحل:
[(3+1)+(2-4)i=4-2i]

مثال2:أوجدحاصلضرب((1+i)(2-3i)).
الحل:
[1\cdot2+1\cdot(-3i)+i\cdot2+i\cdot(-3i)=2-3i+2i-3i^2=2-i+3=5-i]

7.الخلاصة

الأعدادالمركبةأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالمجالات.فهمهايتطلبمعرفةأساسياتهاوطرقالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.

هذاالدرسيقدممقدمةشاملةللأعدادالمركبة،وإذاكنتترغبفيتعميقفهمك،يمكنكدراسةالمزيدعنالتمثيلالقطبيونظريةديموافر.