الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضيات،وتلعبدورًامهمًافيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فيهذاالدرس،سنتعرفعلىتعريفالأعدادالمركبة،وخصائصها،وكيفيةإجراءالعملياتالحسابيةعليها.
1.ماهيالأعدادالمركبة؟
العددالمركبهوعدديمكنكتابتهعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aهوالجزءالحقيقيللعدد.
-bهوالجزءالتخيليللعدد.
-iهيالوحدةالتخيلية،وتحققالمعادلة(i^2=-1).
مثال:
[3+4i]
هنا،الجزءالحقيقيهو3،والجزءالتخيليهو4.
2.التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبعلىالمستوىالإحداثي(مستوىالأعدادالمركبة)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي.
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي.
مثال:
العدد(2+3i)يمكنتمثيلهكنقطةعندالإحداثيات(2,شرحدرسالأعدادالمركبة3).
3.العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
أ.الجمعوالطرح
لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
مثال:
[(2+3i)+(1-5i)=(2+1)+(3i-5i)=3-2i]
ب.الضرب
لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونأخذفيالاعتبارأن(i^2=-1).
مثال:
[(1+2i)\times(3-i)=1\times3+1\times(-i)+2i\times3+2i\times(-i)]
[=3-i+6i-2i^2]
[=3+5i-2(-1)]
[=3+5i+2=5+5i]
ج.القسمة
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةالجزءالتخيليمنالمقام.
مثال:
[\frac{ 1+2i}{ 3-4i}]
نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(3+4i):
[\frac{ (1+2i)(3+4i)}{ (3-4i)(3+4i)}]
بعدإجراءالعمليات،نحصلعلىالناتجفيأبسطصورة.
4.مرافقالعددالمركب
مرافقالعددالمركب(z=a+bi)هو(\overline{ z}=a-bi).
خصائصالمرافق:
-(z+\overline{ z}=2a)(عددحقيقي).
-(z\times\overline{ z}=a^2+b^2)(عددحقيقيموجب).
5.تطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفي:
-الهندسةالكهربائية(تحليلالدوائرالمتناوبة).
-معالجةالإشارات.
-الفيزياءالكمية.
-الرسوماتالحاسوبية.
الخلاصة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتقدمحلولًاللمعادلاتالتيليسلهاحلولفيمجموعةالأعدادالحقيقية.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالجزأينالحقيقيوالتخيلي،وكيفيةتطبيقالعملياتالحسابيةعليها.
الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضيات،وتلعبدورًامهمًافيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فيهذاالدرس،سنتعرفعلىتعريفالأعدادالمركبة،وخصائصها،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.
ماهيالأعدادالمركبة؟
العددالمركبهوعدديمكنالتعبيرعنهبالصيغة:
[z=a+bi]
حيث:
-(a)هوالجزءالحقيقيللعدد.
-(b)هوالجزءالتخيليللعدد.
-(i)هوالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد(-1)،أيأن(i^2=-1).
تمثيلالأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالأعدادالمركبةبطريقتينرئيسيتين:
1.التمثيلالجبري:(z=a+bi)
2.التمثيلالهندسي(المستوىالمركب):حيثيُرسمالعددكنقطةفيالمستوىالإحداثي،حيثالمحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي،والمحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي.
العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:
عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]الضرب:
لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعمعالأخذفيالاعتبارأن(i^2=-1).
[(a+bi)\times(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i]القسمة:
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(Conjugate)لتبسيطالمقام.
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]
المرافقالمركب(ComplexConjugate)
مرافقالعددالمركب(z=a+bi)هوالعدد(\overline{ z}=a-bi).يُستخدمالمرافقفيتبسيطالعملياتالحسابيةوحسابمعيارالعددالمركب.
معيارالعددالمركب(Modulus)
معيارالعددالمركب(z=a+bi)هوالمسافةبينالنقطةالتيتمثلهفيالمستوىالمركبونقطةالأصل،ويُحسببالعلاقة:
[|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]
تطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:
-الهندسةالكهربائية:تحليلالدوائرالكهربائيةباستخداممفهومالطور(Phase).
-الفيزياء:فيميكانيكاالكمومعادلاتالموجات.
-معالجةالإشارات:فيتحويلفورييه(FourierTransform).
الخلاصة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتسمحبحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.منخلالفهمأساسياتهاوتطبيقاتها،يمكنالاستفادةمنهافيمجالاتمتعددة.
هذاالدرسيقدممقدمةشاملةعنالأعدادالمركبة،وإذاكنتترغبفيتعميقفهمك،يمكنكدراسةمواضيعمثلالصيغةالقطبيةللأعدادالمركبةونظريةديموافر.
الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضيات،وتلعبدورًامهمًافيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فيهذاالدرس،سنتعرفعلىتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.
1.ماهيالأعدادالمركبة؟
العددالمركبهوعدديمكنكتابتهعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aهوالجزءالحقيقيللعددالمركب.
-bهوالجزءالتخيليللعددالمركب.
-iهيالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد-1،أي:
[i=\sqrt{ -1}]
2.تمثيلالأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالأعدادالمركبةبعدةطرق،منها:
-الصورةالجبرية(StandardForm):(z=a+bi)
-الصورةالقطبية(PolarForm):(z=r(\cos\theta+i\sin\theta))
حيثrهوالمقياس(Module)ويُحسببالعلاقة:
[r=\sqrt{ a^2+b^2}]
وθهيالزاوية(Argument)وتُحسببالعلاقة:
[\theta=\tan^{ -1}\left(\frac{ b}{ a}\right)]
3.العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح
لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i]
الضرب
لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعمعتذكرأن(i^2=-1):
[(a+bi)\cdot(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]
القسمة
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(ComplexConjugate)لتبسيطالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]
4.تطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:
-الهندسةالكهربائية:تحليلالدوائرالكهربائيةالتيتحتويعلىتيارمتردد.
-الفيزياء:دراسةالموجاتوالاهتزازات.
-معالجةالإشارات:تحليلالإشاراتالرقميةوالتناظرية.
5.خاتمة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتسمحبحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالجزأينالحقيقيوالتخيلي،وكيفيةتطبيقالعملياتالرياضيةعليها.
باستمرارالممارسةوحلالتمارين،يمكنإتقانالتعاملمعالأعدادالمركبةبسهولةوفعالية.
الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضيات،وتلعبدورًامهمًافيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فيهذاالدرس،سنتعرفعلىتعريفالأعدادالمركبة،وخصائصها،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.
1.ماهيالأعدادالمركبة؟
الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزأين:جزءحقيقي(RealPart)وجزءتخيلي(ImaginaryPart).يُكتبالعددالمركبعادةًعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aهوالجزءالحقيقي.
-bهوالجزءالتخيلي.
-iهيالوحدةالتخيلية،وتحققالعلاقة(i^2=-1).
2.العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
يمكنإجراءالعملياتالحسابيةالأساسيةمثلالجمعوالطرحوالضربوالقسمةعلىالأعدادالمركبةكمايلي:
أ.الجمعوالطرح
لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i]
ب.الضرب
يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيعمعمراعاةأن(i^2=-1):
[(a+bi)\times(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]
ج.القسمة
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(ComplexConjugate)لإزالةالجزءالتخيليمنالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]
3.التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي(المستوىالمركب)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي.
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي.
4.القطبيةوالصورةالأسيةللأعدادالمركبة
يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالإحداثياتالقطبية:
[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)]
حيث:
-rهوالمقدار(Modulus)ويُحسببـ(r=\sqrt{ a^2+b^2}).
-θهيالزاوية(Argument)وتُحسببـ(\theta=\tan^{ -1}\left(\frac{ b}{ a}\right)).
كمايمكنكتابتهابالصورةالأسيةباستخدامصيغةأويلر:
[z=re^{ i\theta}]
5.تطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:
-تحليلالدوائرالكهربائية.
-معالجةالإشارات.
-ميكانيكاالكم.
-الرسوماتالحاسوبية.
الخلاصة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتوفرأدواتقويةلحلالمعادلاتالتيليسلهاحلولفيمجموعةالأعدادالحقيقية.فهمهايتطلبإدراكالعملياتالأساسيةوتمثيلهاالهندسي،ممايجعلهاأداةأساسيةفيالرياضياتوالعلومالتطبيقية.
