الأعدادالمركبة(ComplexNumbers)هيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضياتالمتقدمة،وتلعبدورًاحيويًافيالعديدمنالتطبيقاتالهندسيةوالعلمية.فيهذاالدرس،سنتعرفعلىتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةإجراءالعملياتالحسابيةعليها.

1.ماهيالأعدادالمركبة؟

العددالمركبهوعدديمكنالتعبيرعنهبالصيغة:
[z=a+bi]
حيث:
-aهوالجزءالحقيقي(RealPart).
-bهوالجزءالتخيلي(ImaginaryPart).
-iهيالوحدةالتخيلية،وتحققالعلاقة(i^2=-1).

مثال:العدد(3+4i)هوعددمركب،حيثالجزءالحقيقيهو3والجزءالتخيليهو4.

2.التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركبعلىالمستوىالإحداثي(المستوىالمركب)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي.
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي.

مثال:العدد(1+2i)يُرسمكنقطةعندالإحداثيات(1,شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضيات2).

3.العملياتالحسابيةعلىالأعدادالمركبة

الجمعوالطرح

لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
مثال:
[(2+3i)+(1-5i)=(2+1)+(3-5)i=3-2i]

الضرب

يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيع،معتذكرأن(i^2=-1).
مثال:
[(1+2i)\times(3-i)=1\cdot3+1\cdot(-i)+2i\cdot3+2i\cdot(-i)]
[=3-i+6i-2i^2=3+5i-2(-1)=3+5i+2=5+5i]

القسمة

لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(Conjugate)لإزالةالجزءالتخيليمنالمقام.
مثال:
[\frac{ 1+2i}{ 3-4i}\times\frac{ 3+4i}{ 3+4i}=\frac{ (1+2i)(3+4i)}{ 9+16}=\frac{ 3+4i+6i+8i^2}{ 25}]
[=\frac{ 3+10i-8}{ 25}=\frac{ -5+10i}{ 25}=\frac{ -1+2i}{ 5}]

4.تطبيقاتالأعدادالمركبة

تستخدمالأعدادالمركبةفي:
-الهندسةالكهربائية(تحليلالدوائرالمتناوبة).
-الفيزياءالكمية(معادلاتالموجة).
-معالجةالإشارات(تحويلفورييه).

5.الخلاصة

الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتقدمحلولًاللمعادلاتالتيليسلهاجذورحقيقية(مثل(x^2+1=0)).بفهمأساسياتها،يمكنتطبيقهافيمجالاتمتعددةلتحليلوحلالمشكلاتالمعقدة.

هذاالدرسيقدممقدمةشاملةللأعدادالمركبة،وإتقانهايتطلبالمزيدمنالتمارينوالتطبيقاتالعملية.